Basic Math Examples

$\frac{z}{z^{2} - 4} - \frac{4 z - 4}{z^{2} + 6 z + 8}$

Step 1

Simplify each term.

Tap for more steps...

Step 1.1

Simplify the denominator.

Tap for more steps...

Step 1.1.1

Rewrite $4$ as $2^{2}$ .

$\frac{z}{z^{2} - 2^{2}} - \frac{4 z - 4}{z^{2} + 6 z + 8}$

Step 1.1.2

Since both terms are perfect squares, factor using the difference of squares formula, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ where $a = z$ and $b = 2$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 z - 4}{z^{2} + 6 z + 8}$

Step 1.2

Factor $4$ out of $4 z - 4$ .

Tap for more steps...

Step 1.2.1

Factor $4$ out of $4 z$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 (z) - 4}{z^{2} + 6 z + 8}$

Step 1.2.2

Factor $4$ out of $- 4$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 (z) + 4 (- 1)}{z^{2} + 6 z + 8}$

Step 1.2.3

Factor $4$ out of $4 (z) + 4 (- 1)$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 (z - 1)}{z^{2} + 6 z + 8}$

Step 1.3

Factor $z^{2} + 6 z + 8$ using the AC method.

Tap for more steps...

Step 1.3.1

Consider the form $x^{2} + b x + c$ . Find a pair of integers whose product is $c$ and whose sum is $b$ . In this case, whose product is $8$ and whose sum is $6$ .

$2, 4$

Step 1.3.2

Write the factored form using these integers.

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)}$

Step 2

To write $\frac{z}{(z + 2) (z - 2)}$ as a fraction with a common denominator, multiply by $\frac{z + 4}{z + 4}$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} \cdot \frac{z + 4}{z + 4} - \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)}$

Step 3

To write $- \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)}$ as a fraction with a common denominator, multiply by $\frac{z - 2}{z - 2}$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} \cdot \frac{z + 4}{z + 4} - \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)} \cdot \frac{z - 2}{z - 2}$

Step 4

Write each expression with a common denominator of $(z + 2) (z - 2) (z + 4)$ , by multiplying each by an appropriate factor of $1$ .

Tap for more steps...

Step 4.1

Multiply $\frac{z}{(z + 2) (z - 2)}$ by $\frac{z + 4}{z + 4}$ .

$\frac{z (z + 4)}{(z + 2) (z - 2) (z + 4)} - \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)} \cdot \frac{z - 2}{z - 2}$

Step 4.2

Multiply $\frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)}$ by $\frac{z - 2}{z - 2}$ .

$\frac{z (z + 4)}{(z + 2) (z - 2) (z + 4)} - \frac{4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Step 4.3

Reorder the factors of $(z + 2) (z - 2) (z + 4)$ .

$\frac{z (z + 4)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)} - \frac{4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Step 5

Combine the numerators over the common denominator.

$\frac{z (z + 4) - 4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Step 6

Simplify the numerator.

Tap for more steps...

Step 6.1

Apply the distributive property.

$\frac{z \cdot z + z \cdot 4 - 4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Step 6.2

Multiply $z$ by $z$ .

$\frac{z^{2} + z \cdot 4 - 4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Step 6.3

Move $4$ to the left of $z$ .

$\frac{z^{2} + 4 \cdot z - 4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Step 6.4

Apply the distributive property.

$\frac{z^{2} + 4 z + (- 4 z - 4 \cdot - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Step 6.5

Multiply $- 4$ by $- 1$ .

$\frac{z^{2} + 4 z + (- 4 z + 4) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Step 6.6

Expand $(- 4 z + 4) (z - 2)$ using the FOIL Method.

Tap for more steps...

Step 6.6.1

Apply the distributive property.

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z (z - 2) + 4 (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Step 6.6.2

Apply the distributive property.

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z \cdot z - 4 z \cdot - 2 + 4 (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Step 6.6.3

Apply the distributive property.

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z \cdot z - 4 z \cdot - 2 + 4 z + 4 \cdot - 2}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Step 6.7

Simplify and combine like terms.

Tap for more steps...

Step 6.7.1

Simplify each term.

Tap for more steps...

Step 6.7.1.1

Multiply $z$ by $z$ by adding the exponents.

Tap for more steps...

Step 6.7.1.1.1

Move $z$ .

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 (z \cdot z) - 4 z \cdot - 2 + 4 z + 4 \cdot - 2}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Step 6.7.1.1.2

Multiply $z$ by $z$ .

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z^{2} - 4 z \cdot - 2 + 4 z + 4 \cdot - 2}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Step 6.7.1.2

Multiply $- 2$ by $- 4$ .

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z^{2} + 8 z + 4 z + 4 \cdot - 2}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Step 6.7.1.3

Multiply $4$ by $- 2$ .

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z^{2} + 8 z + 4 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Step 6.7.2

Add $8 z$ and $4 z$ .

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z^{2} + 12 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Step 6.8

Subtract $4 z^{2}$ from $z^{2}$ .

$\frac{- 3 z^{2} + 4 z + 12 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Step 6.9

Add $4 z$ and $12 z$ .

$\frac{- 3 z^{2} + 16 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Step 7

Simplify with factoring out.

Tap for more steps...

Step 7.1

Factor $- 1$ out of $- 3 z^{2}$ .

$\frac{- (3 z^{2}) + 16 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Step 7.2

Factor $- 1$ out of $16 z$ .

$\frac{- (3 z^{2}) - (- 16 z) - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Step 7.3

Factor $- 1$ out of $- (3 z^{2}) - (- 16 z)$ .

$\frac{- (3 z^{2} - 16 z) - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Step 7.4

Rewrite $- 8$ as $- 1 (8)$ .

$\frac{- (3 z^{2} - 16 z) - 1 (8)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Step 7.5

Factor $- 1$ out of $- (3 z^{2} - 16 z) - 1 (8)$ .

$\frac{- (3 z^{2} - 16 z + 8)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Step 7.6

Simplify the expression.

Tap for more steps...

Step 7.6.1

Rewrite $- (3 z^{2} - 16 z + 8)$ as $- 1 (3 z^{2} - 16 z + 8)$ .

$\frac{- 1 (3 z^{2} - 16 z + 8)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Step 7.6.2

Move the negative in front of the fraction.

$- \frac{3 z^{2} - 16 z + 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$